TUGAS PRESENTASI

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Makalah Ini Dibuat Untuk Memenuhi Tugas Dalam Mata Kuliah

KALKULUS

DOSEN PEMBIMBING:

Anas Thohir, S.Pd., M.Si

DIBUAT OLEH :

1.      AGUS BUDIANTO                        NIM :11311373

2.      KHOIROTUL HIMMAH                NIM : 11311428

3.      MOCH.KHOIRUL AMIN              NIM : 11311378

4.      NUR INDAH FILALILI                 NIM : 11311394

5.      YURIS AYU LESTARI                  NIM : 11311361

PROGRAM STUDY MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS ISLAM DARUL’ULUM LAMONGAN

2011/2012

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT. yang telah memberikan rahmat serta hidayah kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan tugas makalah dalam mata kuliah Kalkulus II (dua)dalam menyelesaikan tugas ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih kepada:

1.      Anas Thohir, S.Pd., M.Si selaku dosen pembimbing mata kuliah kalkulus II (dua).

2.      Keluarga yang mendukung penulis untuk melanjutkan kuliah di Universitas Islam Darul Ulum Lamongan.

3.      Teman-teman yang telah member motivasi kepada kami.

Akhir kata semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pihak-pihak yang membutuhkan. Oleh karena itu, kritik dan saran sangat diharapkan oleh penulis untuk kesempurnaan penulisan selanjutnya.

Lamongan,  Maret 2012

Penulis,

(                                   )

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

I. Pendahuluan

1.1  Pokok Bahasan

{  Pengintegralan Dengan Subtitusi.

{  Pengintegralan Dengan Bentuk-Bentuk Trigonometri.

{  Pengintegralan Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).

{  Pengintegralan Parsial.

{  Pengintegralan Fungsi Rasional.

1.2  Tujuan

{  Mengetahui teknik-teknik pengintegralan dalam kalkulus.

{  Memahami dan menerapkan teknik-teknik pengintegralan, yaitu substitusi, Bentuk-Bentuk Trigonometri, Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).Integralan Parsial, dan Integralan Fungsi Rasional dalam menentukan nilai integral menggunakan program Mapel.

II. Landasan Teori

1.      Teknik Subtitusi

 a.  Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu

Teorema :

Untuk menentukan ò f(x) dx, kita dapat mensubstitusi u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah antiturunan h, maka

ò f(x) dx = òh(u) du = H(u) + C = H(g(x)) + C

Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat :

1.       = 

2.       =  +

Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu :

1. ,  n ≠ - 1            2.

3.                                 4.

5.                                        6.

7.                           8.

9.                       10.

11.                         12.

13.

Contoh soal :

       tentukan  ò dengan menggunakan cara substitusi ?

Penyelesaian :

       Perhatikan integral tersebut sejenak. Anda akan teringat pada bentuk baku ò sec² u du. Andaikan  u = x², du = 2x dx. Maka

      

                            ò

b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.

 Teorema :

Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada  [a,b]  jika   ada, selanjutnya   disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan  

 = .

Contoh  :

Tentukan

Penyeselesaian

Andaikan u = t² – 4, dengan demikian du = 2t dt; perhatikan bahwa u = 0 jika t = 2 dan u = 21 jika t = 5. Jadi,

 = (2t dt)

=

=

=

= 32.08

2.      Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri

a. sin ⁿ x dx, cos ⁿ x dx

Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor  sin x atau cos x dan kemudian  gunakan kesamaan sin ² x + cos ² x = 1.

Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut

sin² x =  ,  cos ² x =

Contoh :

1.        cos ⁴ x dx =  =  (1 + 2 cos 2x + cos ² 2x) dx

=  dx +  cos 2x (2) dx + (1 + cos 4x) dx

=  x + sin 2x +  sin 4x + c

b. sin ^m x cos ⁿ x dx

Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin ² x + cos ² x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.

c. tg ⁿ x dx, cotg ⁿ x dx.

Keluarkan faktor  tg ² x = sec ² x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg ² x = cosec ² x – 1 dalam kasus cotg.

Contoh :

cotg ⁴ x dx = cotg ² x (cosec ² x – 1) dx =  cotg ² x cosec ² x dx – cotg ² x dx =  - cotg ² x d(cotg x) - (cosec ² x – 1) dx =  - cotg ³x + cotg x + x + c

d.  tg ^m x sec ⁿ x dx, cotg ^m x cosec ⁿ x dx

Jika  n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec ² x ataucosec ² x.

Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor  tg x.sec x.

Contoh :

Tentukan :  1. tg ^–3/2 x sec ⁴ x dx        2. tg³ x sec ^–1/2 x dx

e. sin mx cos nx dx,  sin mx sin nx dx,  cos mx cos nx dx.

Gunakan kesamaan :

sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x]

sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x]

cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]

Contoh :

sin 2x cos 3x dx =  1/2 sin 5x + sin (-x) dx

= 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx  =  - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.

3. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).

a. Fungsi Integral yang memuat bentuk

Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u =

Contoh :

 Hitunglah

penyelesaian :

Misalkan  u =  maka  = x – 4 dan 3 du = dx

Shg   =

b. Integral yang memuat bentuk 

Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t,  x = a tg t  dan x = a sec t.

Contoh :

1.         Tentukan  Jawab :

Jawab :

Misalkan x = 2 sin t  maka  dx = 2 cos t dt  dan  = 2 cos t ,  shg    =  = - ctg t – t + c

                                = 

4.  Pengintegralan Parsial

Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.

Contoh  :

 1.

Misalkan  u = x,  dv = e^x dx maka du = dx ,  v = e^x

  =    =  xe^x –e^x + c

5. Integral Fungsi Rasional

Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

 , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0

Fungsi Rasional dibedakan atas :

a.     Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.

b.    Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.

Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana

Contoh :

                       

a.  Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda

Contoh :

Tentukan 

Jawab :

maka  5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B =  , dan C =   sehingga

=

                                        =  - ln

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang

Contoh :

Tentukan 

Jawab :

  maka  x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan

diperoleh : A = 1 dan B = 3  sehingga

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor  dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

c.   Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda

Contoh :

Tentukan 

Jawab :

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung  integral setiap sukunya.

Daftar Pustaka

Baisuni, Hasyim. 1986. Kalkulus. Jakarta:  UI-Press

Martono,K. 1988. Kalkulus Integral 1. Bandung: Alva Gracia

Purceel, E.J. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga

Kuntarti, Sulitiyono, Sri Kurnianingsih. 2007. Matematika SMA dan MA. Jakarta: Esis